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マンガ微積分入門 岡部恒治@球の体積と表面積の関係を微積で説明したのはお見事

2012-10-02 | 22:41

一読、センスのある絵柄に見えない漫画でつづられた微分積分の入門書です。
初版は20年も前なので、古臭い印象になっているのは仕方がないですね。
内容は、最初のうちこそ、ホントウに初歩の概念を絵柄で説明したりしているのですが、容赦なく難しくなり、最後は合成関数の微分やら、部分積分やらが駆使されて、πの近似にシンプソンの公式を使ったりする。
相当難しいです。

でも非常に参考になる部分も多々あり、まず例題を解いているうちにすぐ一般化してくることです。
思考法が数学的な本質をついていて、非常にヨロシイと感じました。
三角関数の微分の説明。
sin cosに各々接線を引いて導いた処も分かりやすい。
三角関数の微分は覚える公式が多いので、こういう図柄を使った説明はイイですよね。

感心したのは半径rの球の体積の公式と半径rの球の表面積の公式の関連を、微積分を使って実に鮮やかに関連づけていた点で、まさにこの辺は数学の真骨頂。
f(4/3πr^3)`=4πr^2
∫(4πr^2)dx=4/3πr^3
なりますね。
見事な関連だ。
球なすべての面で微分可能な形態だし、その表面積を積分すれば体積になる。

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Theme : 数学
Genre : 学問・文化・芸術

指数・対数(図解雑学) 佐藤敏明@数学は言語である。ならば学ぶには

2012-07-01 | 15:33

前回の、「ゼロと無限」の記事で、newtonの画像に喜んでいるだけなのは、数学オタクとしてはもったいない、と書きましたが、図解雑学シリーズは、見開いた右ページ側に計算する喜びが溢れています。
素人の数学オタクはこうじゃなくっちゃね(笑

さてまず指数関数ですが、これは2の二乗、とか分かりますよね。
爆発的に増えるモノのことを指数関数的に増える、なんて言います。
では、2の-1乗って分かります?
そう、逆数ですね。
では、2の5/7乗は? √2乗ならどうでしょう?
この本を読むと図解雑学名物の「右側のページ」にしっかり計算の仕方から書いてあるので読み込み、もとい、チラシの裏側に書いて行きましょう。
まず書いてあることをそのまま写す。
それから一つ一つ意味を確認しながら書きすすめる。
チラシの裏、なんで、正確性より習うより慣れの精神で、乱暴で良いからドンドン書く。何度も書く。
そう、数学は極めて理論性の強い言語なんです。
言語を覚える時は、まず慣れ、ですよね。(英語すらアレな、私が言うのもなんですが・・・)

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ゼロと無限 素数と暗号Newton別冊ムック@ビジュアル誌も数式へ歩き出す一助になれば

2012-06-19 | 23:52

数学や理論物理学のファンとしてNewtonを読むのは素人・・・当たり前のこと、書いてますが(笑)、素人オタクとしてはビジュアルに偏った雑誌で、綺麗な絵を見て科学の深淵、分かった気になっているのはツマラナイのです。
本当のロマンは数式の中にあるのであって、結局、楽をしていてはダメなんだよ。
どんな娯楽もホントウの喜びはある程度の困難を乗り越えた後にあるんであってね。
だから普段はnewton、手に取ることないんですが、本のタイトルが「ゼロと無限」って一番ツボを突かれてしまっては、中身をちょっと見てみようかなあ、と・・・
そしたら例によってゼータ関数なんかが書いてあって、立ち読みしているうちにプリヒタの素数円なんてオモシロイじゃん、なんて思ってしまって、買ってしまいました。
計算で体感!RSA法とか、実際にやってみて楽しかったですね。
読んでいるうちに、家にある本ひっぱり出して、無限級数の出しかたとかやりなおしてみるのも楽しかった。
この本自体には、それほど高度な数式、出てこないのですが、大きく、分かりやすく、綺麗なビジュアルの中で、基本の式だけでも出てくると、それをきっかけに、少し本式の本を持ち出して、自分の理解を確認というか、忘れてしまっているんで、復習ですね。
なったのは良かったです。
なるほど。
ビジュアル誌の効用はこういう処にあるのだ、と再認識しました。

それにしてもゼロと無限、不思議な概念だよね。
私はこの二つの概念に潜む謎を解き明かした時、人類の知性は新たな段階に入ると思う。
無限の問題はカントールが相当にやった。手がかりを造った。
後はゼロだ。
1/0が出来ないって、考えると不思議過ぎる。

数式をいじっていると、たとえばオイラー式とかね。
数式の適合性って凄い!って思うでしょ。
自然対数の底が、iと円周率を介して繋がるんだよ。
ここまで理論で繋がっているのに、四則演算に出来ないモノがあるって、おかし過ぎる。
ゼロとは何者なのか?
素数分布とゼロのホントウの正体が分かる時、人間は宇宙の秘密へ大きく近づくと思うのだ。

数学関係の本を読むときは、チラシの裏側にでも、出てきた数式を書いてみるとイイです。
分からなくってイインです。
それでもまず書いてみる。
じっと眺めて、ここが分からないって箇所を、少し詳しく書いてある本に戻ってやり直してみる。
そこも分からなければ、さらに基礎的な処に戻る。
なんとか分かる処まで来たら、実際にチラシの裏側で計算してみる。
楽しいです。
ま、こんなことしか楽しみがないってのもネクラな話なんだけどさ・・・趣味は人それぞれってことで。

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【そもそも何か?】オイラーの贈物 吉田武@この本が一カ月で1万部売れる国が何故衰退するのだろう?

2010-03-12 | 20:49

数学美の極限を現すとも言われるオイラーの e^iπ=-1 という式

ネイピア数eに虚数iと円周率πを掛けた数を自乗すると、-1になる。
まずなんでこれがそんなにありがたいのか?考えてみましょう。

ご存知のようにπは円周率。直径と円の周りの長さの比率です。
それは3.14159・・・と永遠に続き終わることがありません。
それだけでなく、πは超越数と呼ばれるモノの仲間で、有理係数を持つ代数方程式の解になりません。
πはπとしか表現出来ないのです。
円でも球でもこんなにありふれているのに、人類の知恵、未だ足らずです。

iは二乗すると-1になる数です。
二乗してマイナスになる数なんて何故必要だったのか、というと、単にx^2=-1という方程式に解があってもいいじゃないか、と考えた人がいたからです。
それをiと勝手に決めたのです。
勝手に決めた数が、何かの役に立つのか、というと複素平面上という概念が出来てから非常に役にたっています。

最後にe,ネイピア数とは何か、というとこれは自然対数の底と呼ばれるものです。対数とは指数の逆関数です。
例をあげると

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図解雑学 確率モデル 今野紀雄@確率モデルの理解を簡単に

2009-12-02 | 18:32

伝染病の伝播など複雑な現象を解析する際、確率的なルールを組み込んで分析すると非常に効果的なことがあります。
この本は確率モデルの基本となることを、図解を使って解説しながら非常に分かり易く読ませてくれます。
ランダム・ウォークでの確率モデルや、方向性のあるパーコレーションの話はオモシロかったです。

世界を少しだけ数学的に見る見方が身に付いたかな・・・

以下この本からの覚え書き
1)方向性のあるパーコレーションはパスカルの三角形を使い、道の数はカタラン数列に一致する。

2)逆正弦の法則:1/2確率の試行を増やすと結果は0か100の割合が増え、間の50は減る。半々の運試しはどちらかに偏るのだ。グラフは逆正弦を描く

3)標本空間はΩ:全事象のこと 伝染確率はλと呼ぶ:臨界値は1.649
E(X)Eは期待値expectation,平均はm:mean
分散Vは確率変数のばらつき具合を表し、確率変数から平均を引いて二乗し確率を掛ける。

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魔性の難問~リーマン予想・天才たちの闘い~:神の言語の深遠に挑む者は、注意せよ

2009-11-22 | 16:42

NHKスペシャルでやっていたリーマン予想の番組は、ゼータ関数を非常に分かり易く視覚化したりしてオモシロかったです。

昨日はとても疲れていたんですが、録画してあった番組、一気に見てしまいました。

まず登場するのはオイラーですが、この大数学者の唯一の欠点は、あまりに人間が出来すぎていて、エキセントリックなオモシロさに欠けるということくらいです(笑
膨大な業績を上げた人だったので、もっとトリッキーな性格だったら、笑えるエピソードも一杯残してくれたと思うんだ。
でもオイラー級数(平方数の逆数:ゼータ関数なら2)の収束値を、π^2/6と明らかにしたのは空前の発見でした。
すべては此処からでしたよね。

そして帝王ガウスが続く。
少年期に300万までの素数を計算したってどんなんでしょうか?
やっぱり化物ぶりが半端ないです。
そしてその分布が自然対数eの逆数に近似していくことを発見した。

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はじめての現代数学   瀬山士郎@素人向け数学本で注意すること

2009-08-25 | 20:00

薄い230pの文庫本だったし、「はじめての」なんて題名だったしで読み出したのですが難しいです。

思い返すに数学本は文庫ほど読みにくいですね。
これは一般の本と違う数学本の注意事項だと思います。
何故、数学本に限って文庫だと難しい(読み難く)なるのかと思うに、書ける面積の制約から懇切丁寧さが欠けてくるからでしょう。
私レベルだと同じことを何度も何度も噛んで含めるように説明してもらわんと読みきれないないんだよ。
どんどん次に進められると分からなくなっちゃうの。

内容は1)現代数学の構造主義的方法としてガロアの群論
2)集合論:無限の算術
3)トポロジー位相空間幾何学
4)形式論理学:ゲーデル
5)フラクタル、カタストロフィーetc
と、慣れ親しんだものです。

一番解かりやすかったのはトポロジー理論の章で、なんと植木算こそ一次元トポロジー問題

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大人のための数学➂ 集合論@「無限」という神殿に住まう「神」への手探り

2009-04-18 | 23:41

オカシナ宗教にハマッテいると思われると心外なのだが、「神」は数の神秘の中にいるのではないか、と思っている。

0.1と0.11
とても小さな数ですが、紙に書いてみるとその間には無限が生じるんですよね。
0.1000・・・・∞・・1から0.109999・・・∞まで、小数点以下をどこまでも続けていけば限りがない。
全人類が総力を挙げてその全ての数を書き記そうとしても不可能。
たったの0.01の隙間なのにね。

無限、というと大きな物、ひたすらに長い時間、という天文学的なスケールについて考えがちだけど、もう宇宙の大きさ、おおむね判明しているでしょ。

今の処、137億光年ですか?・・・まだまだ観測結果、ブレると思うけど、宇宙の大きさ、少なくても無限じゃないことは確かなよう。
でもとても小さな数字の間には無限がある。
それに気づいた時、なんだか人が覗いてはいけない深淵を覗いたような気になってすごく怖い反面とても惹かれた。

俺の場合、怖い対象と惹かれる対象って案外近いんだよね。

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なぜこの方程式は解けないか? 天才数学者が見出した「シンメトリー」の秘密  

2008-06-11 | 19:21

非常にオモシロい本ですが、400ページを一気に読了してまず感じることは、惜しい、ということです。
何が惜しいかと言えば、題名です。
この本の豊かな内容(数学から量子力学、人類学から音楽、芸術に至るまで)に比べて題名があまりに詰まらなさすぎる。
これではまったく魅力は伝わらないでしょう。

まずこの本のいう、「解けない方程式」とは五次方程式のことです。
ただ解けない、と言ってもそれは四次方程式まではあった「係数の四則演算と累乗根だけで表せる解の公式が存在しない」というだけです。
五次方程式に解の公式がない、なんて常識だ、と思っていたら、なんと人類はそれを300年も探しもてめていたのでした。(この時代、最大の未解決問題だったのだ!)

結局この問題は、アーベルが道筋をつけ、ガロアが群論でもってトドメを刺すのですが、それまでなんとかしようとあがく数学者の奮闘ぶりには頭が下がると同時に、涙ぐましさに気の毒にもなります。

それから本はアーベルの人生を俯瞰し、その不幸な一生を悼み、主人公ともいえるガロアについて語りだします。
エヴァリスト・ガロア、たった20年の人生で数学史を塗り替えた天才には、同じパリが舞台ということもあり、どこかアルチュール・ランボーの面影も重なりますが、この本で明かされる群論の壮大さには、ただ圧倒されます。

群論は「数学的抽象化の最たる技法」であり、素人数学オタとしては、絶対に抑えておかないといけない分野です。
群論はなんとレヴィストロースの名著、「親族の基本構造」から、ソシュールの言語学の体系化

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ポアンカレ予想とペレルマン

2007-10-23 | 20:38

この番組、スゴク楽しみでした。
今、NHK見ながら録画もしています。
トポロジーとポアンカレ予想がCGを使い良く説明されていますね。

サーストンの幾何化予想のところは勉強になりました。
リッチフローの基礎と微分方程式、物理の知識が説くポイントだったとは。

「極めて高度な数学の持つ迷宮の美しさは、それを覗く才能のある選ばれた者たちを夢中にさせる」
俺に才能があったらなにより一番見てみたいのがコレ。
どんなものよりも見てみたい。

人一倍計算が速くてそれだけが子供の頃のプライドだったんだけど、それだけでした。
計算と真の数学的才能って全然別なんだよね。

「孤独な世界で研究を耐えたのが成功の秘訣でしょう。人間性を切り裂かれるような恐ろしい試練だったと思います。その結果、彼な何かを失ってしまったと思います」

フィールズ賞受賞拒否で見たまるで憑かれた人のような写真とはあまりにかけ離れた若き日の優しい微笑みと眼差しのペレルマンを見ていると、数学の魔性の恐ろしさにゾっとします。
でも破滅の瀬戸際にあるモノって大概凄い快楽だったりするんだよね。

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