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無限の要素を持った集合の濃度は、ベキ集合でより高められる@不完全本なの?

2010-05-23 | 17:37

本の再読と整理整頓(昨日は仕舞ったままになっていた大量のプリンター用紙を発見)がマイ・ブームですが、この内容も再読している「ゲーデル・不完全性定理@ブルーバックス:吉永良正」からのものです。
たださっきアマゾンみたらこの本自体が不完全、と書かれていた!
ショック!・・・まあどこが不完全なのか読んでみます。
とりあえず今日は集合論を

無限とは、数えられないから「無限」なんですが、集合論の開祖、G・カントールは、その無限にも大小があり、階層が存在することを証明しました。

その無限の階層を上げる(より大きな無限の作り方の)方法を以下、解説します。

集合Aのすべての部分集合から成る集合を「ベキ集合」とし、2^Aと表記します。
この2^Aの濃度(無限は数えられないので、大きさを濃度、と表現します)を2^=A(ここでの=はイコールの=ではなく、=がAの上に表記される記号です)と書かれます。

定義式は、2^A={X|X⊂A},2^=2^=A
となります。意味は
「集合2^AはXを要素にもつ集合で、XはAの任意の部分集合」です。

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:13

2006-04-14 | 22:46

この本の41ページからの記述にちょっと疑問な点がありました。

P41、最終段落の記述。
「カバラの少なからぬ部分は、聖なる神の名であるテトラグラマトンの置換にかかわっている。
ヘブライ語の神名YHVHは、何通りの並べ替えが出来るだろうか?」

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:12

2006-04-13 | 22:44

「コーヒーが不味かった」
これが戦火により封鎖寸前になっていたヨーロッパからアメリカに渡ってきたゲーデルの感想です。

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:11

2006-04-12 | 11:02

ゲーデルはウィーン大学に進学し6つ年上の踊り子アデーレ(離婚経験者)と結婚します。
そして有名な不完全性定理を導きます。
そのエッセンスは、

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:10

2006-04-11 | 22:25

クレタ人、エピメデスは言った「私は嘘をついている」
この命題が真ならば、エピメデスは嘘をついていないことになり、
命題は偽となります。
この命題が偽なら、エピメデスは嘘をついていることになり、
命題は真となります。
以上2つともに命題が偽であり真であることになり、これは矛盾です。

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:9

2006-04-10 | 21:45

連続体仮説の証明に行き詰まった、カントールは引き篭もり、大学は病休、突然シェークスピアの研究を始めます。
数学ではなくシェークスピアです。

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『無限」に魅入られた天才数学者たち:8

2006-04-09 | 10:21

仮に集合{1,2,3}があった時、そのすべての部分集合を「べき集合」と呼びます。
この場合、べき集合は、
空集合{Φ}、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、
{1,2,3}
となります。

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:7

2006-04-08 | 20:53

無限に関する研究を続けるカントールをクロネッカーは執拗に妨害し個人攻撃を始めます。
同時に「実無限」という考えに取り付かれたカントールは、精神病の発作を起こします
googol(あの検索エンジンは、ここから取られたのでしょうか)

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:6

2006-04-07 | 22:11

1)無限の階層
最も低い無限の階層:
自然数の無限。数は無限だが数えることは出来る。
「数えきることは出来なく」ても「数えられるというプロセスがある」=「可算無限」ということです。

有理数も可算無限です。

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「無限」に魅入られた天才数学者たち:5

2006-04-06 | 22:05

エピソード篇:
大学を卒業し結婚もしたカントールですが、地位は2流大学の研究者でした。
給料も安く、優秀な研究者はみんなベルリンに集まっており、研究環境という点でも不満足なものでした。

そんな不遇なカントールをさらに追い詰めるのが、当時の数学会の大御所のクロネッカー。

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