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図解雑学フェルマーの最終定理:3

2008-06-10 | 00:20

20世紀も後半になると数学の世界でもコンピューターが活躍します。
フェルマーの最終定理も92年にn=400万まで証明されました。
しかし数論の恐ろしさはその内部に無限を内包することであり、400万では話になりません。
400万の階乗の階乗まで計算したって、その後に数は無限に続くのですから。

さてそんな数論最大の巨峰であった、フェルマーの最終定理の解決には3人の日本人が大きな功績を残しています。
それが
谷山=志村予想:すべての楕円曲線はモジュラーである」です。

では楕円曲線とは何かと申しますと、
y^2=ax^3+bx^2+cx+d (ただし右辺を0とした方程式は重根、三重根を持つものは除く)
と表現できる関数です。
なぜ重根と三重根を持つモノはダメかというと、重根は結節点があり、三重根は尖点という共に特異点(微分不可能点)になるのでダメなんです。(微分不可能点があることは、その点では、関数の数学的性質が保たれないということです)

グラフ化するとこんな感じです。
Ecexamples01

ガウスが発祥ですが、この楕円曲線上の有理点は加群をなします。

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フェルマーの最終定理:2@図解雑学シリーズ6章から

2008-06-03 | 22:56

フェルマーシリーズの続きです。

合同数mod
今、目の前にカレンダーがあればご覧ください。
7日周期で日付がついていますね。これが合同数modの考えです。
2つの整数aとbがmで割り切れると、aとbを合同といい、a≡b(mod m)と表す@ガウス」
簡単に言い直すと
aもbもmで割ったとき、その余りが等しいこと」です。
具体例
8≡2(mod 3)8も2も3で割ると2余る
99≡0(mod 11)99は11で割ると余り0
321≡39≡3(mod 6)321も39も3も6で割ると3余る。
ちなみにmodは小さい尺度を表すmodulusの略で、日本語では「法」と言います。

ちなみに今月のカレンダーを見ると日曜日は
1≡8≡15≡23≡29≡1(mod 7)です。1.8.15.23.29は7で割ると余り1.ですね。

合同数は群である

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図解雑学フェルマーの最終定理@フェルマーの定理シリーズ:1

2008-05-19 | 22:12

これほど偉大な文明を築き上げた人類の前に、360年に渡り立ちはだかった2項1行の式。
X^n+Y^n=Z^n、を満たす自然数X,Y,Zはない。(n≧3)

数論の底知れなさを見せ付けたフェルマーの最終定理は極めて魅力的な問題です。
じっくり腰を落ち着けて学びたいのは山々ですが、最近は休日から仕事の後まで会合や勉強会があり、システムトレードの勉強もしたいしで、とりあえず家に山積みになっているフェルマー本の中の一番簡単そうなヤツ、「図解雑学」シリーズの6章からをまずはまとめてみましょう。

記号論理学でいう否定、連言、選言、条件という論理結合子を以下書きます。
否定:¬が印です。¬Aという具合に使います。
Aが「雪は白い」という命題なら、¬Aは「雪は白くない」ということになります。
連言は∧です。「・・・かつ・・・」となります。
二つの命題が共に真の時。集合論では積集合です。
選言は∨です。「・・・または・・・」です。
二つの命題のどちらかが真ならばA∨Bが成立します。和集合です。
後、補集合は、 ̄となります。 ̄の下に命題Aなどを入れ、A以外の要素が入ります。

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