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二次か三次か? 次元の計算方法@はじめての現代数学@瀬山士郎著から

2010-11-14 | 14:00

魅力があるのは二次か三次か?
ネットで良く議論になる所ですが、次元には計算方法があるのです。
憶えておくと楽しいので、今日はその方法を簡単に。

まず点は0次元、線なら一次元、面になると二次元、現実世界の立体は三次元ですね。
それなら線で埋め尽くされている平面は何次元でしょうか?
それに答えるのがフラクタル次元計算法です。

まず一次元=一本の線がある時、それを二等分する。
元の半分になります。線だから形も1/2になっただけで一緒(相似形)です。

では面ならどうか?
正方形の面を半分に、真ん中から切ったら(縦切りでも横切りでも)、縦長、横長になり、同じ形(相似形)ではなくなります。
変形してしまう。
同じ形のミニチュアサイズ(相似形)にするなら、縦横の比率を合わせる為、四等分しないとならない。
同じ理屈で立方体で相似形を作るなら、縦、横、高さを二分の一にし、大きさ(体積)は8分の1になります。

となると相似比rは1次元=2分の1、二次元は面積比=4分の1、三次元は体積比で=8分の1、です。
相似比を公式化するなら、2の肩に次元を自乗すれば良いのが分かります。
一次元=2^1、二次元=2^2、三次元=2^3ですね。

このアイデアを一般化します
コッホ曲線(線分を3等分し真ん中の部分を正三角形に折り曲げる、という操作を無限に繰り返す、フラクタル曲線)この曲線は何次元か?

最初の長さが1、なら操作を繰り返すごとに相似形は4/3倍の長さに増え続け、n回後にはlim(4/3)^n,n→∞です。
この次元は 4=3^x
ですね。
この両辺の対数を取り
log4=xlog3 ならば
xlog3=log4(logは常用対数、log3は10を何乗すれば3になるか?ということ)
x=log4/log3(←常用対数表から)
x=0.602/0.477
x=1.2618
よってコッホ曲線の次元は線の1次元より大きいけど、面の二次元より小さい、1.2618次元となります

ではカントールの不連続体の次元は?
カントールの不連続体:
線分 _________があった時、三等分して真ん中の部分を取り除くと
線分は___   ___となる。この操作を繰り返すと次は
    _ _   _ _となり、無限回の後にはだんだん細かく点状になるが、
線分_は空白を挟んで無限に存在する。
点状なので0次元? と思う反面、元の線分の相似形であるのだから一次元とも考えられる。
上記フラクタル次元の考え方から計算すると、相似比1/3の縮小図形で、二個に分かれるから
log2/log3=0.6309次元。
0次元以上、1次元未満!
となります。

なんと!
次元は整数だけじゃなかったんです。
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