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ホッジ予想:「興奮する数学」よりミレニアム問題最終章    K・デブリン

2007-08-30 | 22:36

人類がその最果てを未だ計りえぬ広大な数学の森で、現在、最も深遠な場所に眠る究極の難問がコレです。
それは
「非特異的な射影的代数多様体の上にあるすべての調和微分形式は、代数的サイクルのコモホロジー類の有機的な結合になる」です。

何を言っているか解らないと思うので、以下、この本から読みとったことを私の限界領域で解説しますから、人類の思考の行き着いた最深部を覗いてみましょう。

y=3x+7
これをグラフに書くと点(0.7)を通る傾き3の直線になりますね。

グラフに出来る図形は数式化することができます。
こうした幾何学的な議論を代数学に置き換えることを一般に「代数幾何学」といいます。

これは逆にすれば代数方程式の集まりから出発して、その解として「幾何学的」対象を定義できます。
しかし大部分の方程式はなじみのある幾何学的対象には対応してません。
それを幾何学的対象と呼ぶのは意味がないので、それを「代数多様体」と呼びます。

多様体はその方程式系のすべての解の点全体からなります。
よって代数多様体は、幾何学的対象の一般化です。(視覚化できないにしろ)

よって、「非特異的な射影的代数多様体」とは、代数方程式の解から得られるなめらかな高次元の「曲面」ということです。

この「曲面」の上の「調和微分形式」とはラプラスの方程式という偏微分方程式の解のことです。

それはある種の多様体から出発してその上で微積分を行うときに生じる抽象的な対象「H-対象と呼ぶことにします」に関する主張です。

これで前半は分りましたね。

次に複素関数(複素数、実数部と虚数部の数3+5iなどを対象にした関数)は、虚数部分を含むので、対象がリーマン面に広がり、一つの変数から多くの値の出てくる「多価関数」になることがあります。

さらにリーマン面のアイデアを複素多様体(複雑な位相を持ったリーマン面を高次元化したもの)という抽象的な概念まで一般化すると、その多様体は複素解析関数の概念に合致する構造を持つ。
180pxriemann_sqrt

これは通常の微積分関数fの微分dfを高次元に一般化した微分形式と定義できる。

この微分形式はある種の鍵となる特徴をもつ異なる類に分けられる。
その類の定め方から、それらはコホモロジー類と呼ばれます。

コホモロジー類とは
1)微分形式は、他の微分形式の外微分(微分形式についての特殊な演算)となるとき、完全微分形式となる。

2)微分形式は外微分が0となるとき、閉微分形式となる。
3)二つの閉微分形式は、その差が完全微分形式となるとき、コホモローグとなる。

よってコホモロジー類の要素は閉微分形式である。
完全性は同じコホモロジー類の要素が共有する「相似的な」性質である。
コホモロジー類の定義は、こうして微積分の概念に強く依存する。

コホモロジー類は、土台となる複素多様体の重要な側面を捕まえる有用な位相不変量を定める。

複素代数多様体とは、代数方程式の複素解によって定義された高次元の「曲面」のことである。

複素代数多様体は、定義方程式の解が含まれる数の比のみ依存するとき、「射影的」だといわれる。

代数多様体は「表面」がなめらかなとき、非特異的だといわれる。

これで上記の定義を読みなおして、イメージをもって下さい。

ホッジは解析の方法をこれらの代数多様体に適用し、とくに非特異的な射影的複素代数多様体から生じる微分形式の有理的コホモロジー類がラプラス方程式の解とみなせるととに気づきました。

そのような類は、調和(p、q)-形式とする特別な成分の和として書けます。

よってp個の複素変数とq個の共役複素数変数によって表せるラプラス方程式の解になっています。
さらに(p次元の)それぞれの代数的コホモロジー類からは(p、q)-形式が生じます。

よってあらゆる調和(p、q)形式は代数的な閉微分形式の有理的な結合になる(=代数的に表せる。微積分なしで表せる)

これがホッジ予想です。
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Theme : 数学
Genre : 学問・文化・芸術

Comment

No title

あまり関係ないようですが

一応

リーマン予想の証明に成功しました

物理と数学のかきしっぽっていう本です

  • 2014-01-30 | 21:38 |
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