2008-06-03 | 22：56
フェルマーシリーズの続きです。
合同数mod
今、目の前にカレンダーがあればご覧ください。
7日周期で日付がついていますね。これが合同数modの考えです。
「2つの整数aとbがｍで割り切れると、aとbを合同といい、a≡b（mod m）と表す＠ガウス」
簡単に言い直すと
「aもbもｍで割ったとき、その余りが等しいこと」です。
具体例
8≡2（mod 3）8も2も3で割ると2余る
99≡0（mod 11）99は11で割ると余り0
321≡39≡3（mod 6）321も39も3も6で割ると3余る。
ちなみにmodは小さい尺度を表すmodulusの略で、日本語では「法」と言います。
ちなみに今月のカレンダーを見ると日曜日は
1≡8≡15≡23≡29≡1（mod 7）です。1.8.15.23.29は7で割ると余り1.ですね。
合同数は群である。
合同数mod
今、目の前にカレンダーがあればご覧ください。
7日周期で日付がついていますね。これが合同数modの考えです。
「2つの整数aとbがｍで割り切れると、aとbを合同といい、a≡b（mod m）と表す＠ガウス」
簡単に言い直すと
「aもbもｍで割ったとき、その余りが等しいこと」です。
具体例
8≡2（mod 3）8も2も3で割ると2余る
99≡0（mod 11）99は11で割ると余り0
321≡39≡3（mod 6）321も39も3も6で割ると3余る。
ちなみにmodは小さい尺度を表すmodulusの略で、日本語では「法」と言います。
ちなみに今月のカレンダーを見ると日曜日は
1≡8≡15≡23≡29≡1（mod 7）です。1.8.15.23.29は7で割ると余り1.ですね。
合同数は群である。
詳しく説明すると表（これは用意してんですが）、表もブログにアップしたらダメでした。巡回する図か書けないので勘弁！してもらって結論だけ書きますと、合同数modは加法と乗法において、
すべての要素（元）どうしの演算をしてもその要素（元）は含まれて集合として閉じており、単位元（他の元に影響を与えない存在）があり、逆元（すべての元を単位元にもどす）があり、結合の法則がなりたつ「群」であることが証明されており、
仮にa≡b(mod 5)があるとしたときのｍod＝5の加法表
を作ると、表が対称になっていることからこの群は可換である、とされます。
巡回群と原始根
素数ｐにおける掛け算で群Ｇ（ｐ）ただし集合Ｇ（3）は要素{1.2}だけの2つとすると
の構造表となります。（スミマセン、構造表アップできません）
このＧ（3）で2＾0、2＾1、2＾2を求めると
2＾0≡1（mod 3）,
2^1≡2（mod 3）
2^2≡1（mod 3）となり、このときＧ（3）のような群を2において生み出される巡回群と呼び、巡回群を生成する元の数、Ｇ（3）を原始根と呼びます。
フェルマーの小定理：数論では非常に大切な定理で、後の群論に関わります。
「自然数ｐが素数であり、ｐとaが互いに素であるとき、a^p-aはpで割り切れる」
具体例
「ｐを３、aを４とすると、3と4は互いに素であり実際に計算すると、4＾３−４＝64-4＝60、60はｐとした3で割り切れる60/3＝20」
a^p-aは(a^p-1−１)・aとなります。
aとpは互いに素ですが、しかし(a^p-1−１)はｐで割れます。
よって合同式ではa^p-1≡1(mod p)と表せます。
なんで合同式をやるかというと、やっぱり無限を数えるからです。
結局、フェルマーの最終定理は楕円曲線がモジュラーであり、それが合同式となりガロア表現、群となることで証明されました。
だから次は楕円曲線です。
すべての要素（元）どうしの演算をしてもその要素（元）は含まれて集合として閉じており、単位元（他の元に影響を与えない存在）があり、逆元（すべての元を単位元にもどす）があり、結合の法則がなりたつ「群」であることが証明されており、
仮にa≡b(mod 5)があるとしたときのｍod＝5の加法表
を作ると、表が対称になっていることからこの群は可換である、とされます。
巡回群と原始根
素数ｐにおける掛け算で群Ｇ（ｐ）ただし集合Ｇ（3）は要素{1.2}だけの2つとすると
の構造表となります。（スミマセン、構造表アップできません）
このＧ（3）で2＾0、2＾1、2＾2を求めると
2＾0≡1（mod 3）,
2^1≡2（mod 3）
2^2≡1（mod 3）となり、このときＧ（3）のような群を2において生み出される巡回群と呼び、巡回群を生成する元の数、Ｇ（3）を原始根と呼びます。
フェルマーの小定理：数論では非常に大切な定理で、後の群論に関わります。
「自然数ｐが素数であり、ｐとaが互いに素であるとき、a^p-aはpで割り切れる」
具体例
「ｐを３、aを４とすると、3と4は互いに素であり実際に計算すると、4＾３−４＝64-4＝60、60はｐとした3で割り切れる60/3＝20」
a^p-aは(a^p-1−１)・aとなります。
aとpは互いに素ですが、しかし(a^p-1−１)はｐで割れます。
よって合同式ではa^p-1≡1(mod p)と表せます。
なんで合同式をやるかというと、やっぱり無限を数えるからです。
結局、フェルマーの最終定理は楕円曲線がモジュラーであり、それが合同式となりガロア表現、群となることで証明されました。
だから次は楕円曲線です。
Comment
＞23≡1（mod 7）の部分は、正しくは 22≡1（mod 7）なのでは？
そうです！
うっかりしました（笑
俺はせっかちで書きなぐりますから、こういうこと多いですね（苦笑
もとよしさんには、いつも貴重なアドバイスを頂きますので助かります。
＞そこから下は、３回読み返してもチンプンカンプン(?_?)でございます。（笑）
表とグラフが書けてませんから、分からなくも当然です・・・
この辺は自分だけの為の復習になってますね。
ホントはそれしゃいかんのだけれど・・・
ハッキリしない、私の書き方が拙かったです。（汗）
日曜日の合同数modを
>1≡8≡15≡23≡29≡1（mod 7）です。1.8.15.23.29は7で割ると余り1.ですね。
と書かれていたので。
この内、23≡1（mod 7）の部分は、正しくは 22≡1（mod 7）なのでは？
と言うことを申し上げたかったのでした。(^^ゞ
そこから下は、３回読み返してもチンプンカンプン(?_?)でございます。（笑）
＞今頃になって、やっと２を読ませて頂きました。(^^ゞ
どうもありがとうございます。
＞日曜日の合同数modは、 1≡8≡15≡22≡29≡1（mod 7） でしょうか
そうです！
＞「フェルマーの小定理」まで来ると、もうさっぱりです。 背中も見えませんよ〜。(^^ゞ
書いている私が分かってませんから（笑
それにグラフや図表が書けないですからねえ・・・
私の文章だけでは、どなたでも無理かと思います・・・
＞この次は、３を読ませて頂きますね。(^ｧ^)
よろしくお願いします！
今頃になって、やっと２を読ませて頂きました。(^^ゞ
合同数mod。
一週間と言う単位で説明されるているお陰で、とても取っ掛かり易い気がします。(^ｧ^)
因みに、日曜日の合同数modは、 1≡8≡15≡22≡29≡1（mod 7） でしょうか。（重箱の隅ですけれど (^^ゞ）
そういえば昔、モジュラス・イレブンってのを習った記憶が・・・・・
神秘的にさえ見える最終定理への道に、身近な事象を見つけた感じです。(^ｧ^)
「フェルマーの小定理」まで来ると、もうさっぱりです。 背中も見えませんよ〜。(^^ゞ
この次は、３を読ませて頂きますね。(^ｧ^)
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